Class 8 Maths Chapter 1 Notes in Hindi : A Square and A Cube Notes Ganita Prakash (New Book NCERT)
क्या आप Class 8 Maths Chapter 1 Notes in Hindi की तलाश में हैं? इस विशेष लेख में हम Ganita Prakash (New NCERT) पाठ्यक्रम के अनुसार “वर्ग और घन” (A Square and A Cube) के सभी महत्वपूर्ण सूत्रों, पैटर्न और ट्रिक्स को विस्तार से समझाएंगे। ये कक्षा 8 गणित अध्याय 1 नोट्स न केवल आपकी स्कूली परीक्षा बल्कि प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए भी आपकी नींव मजबूत करने में मदद करेंगे।
Class 8 Maths Chapter 1 Notes ( अध्याय 1: एक वर्ग और एक घन ) — मुख्य नोट्स (Notes)
1. वर्ग संख्याएँ (Square Numbers)
- परिभाषा: जब किसी संख्या को स्वयं उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल उस संख्या का ‘वर्ग’ कहलाता है।
- उदाहरण: \(4 \times 4 = 16\) (यहाँ 16, संख्या 4 का वर्ग है)।
- पूर्ण वर्ग (Perfect Squares): 1, 4, 9, 16, 25, 36 जैसी प्राकृत संख्याएँ ‘पूर्ण वर्ग’ कहलाती हैं क्योंकि ये किसी न किसी प्राकृत संख्या का वर्ग हैं।
वर्ग संख्याओं के गुणधर्म:
- इकाई का अंक: सभी पूर्ण वर्ग संख्याओं के अंत में (इकाई स्थान पर) 0, 1, 4, 5, 6 या 9 ही होता है।
- गैर-वर्ग संख्याएँ: जिन संख्याओं के अंत में 2, 3, 7 या 8 आता है, वे कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं।
- शून्यों की संख्या: किसी पूर्ण वर्ग संख्या के अंत में शून्यों की संख्या हमेशा सम (Even) होती है (जैसे: 100, 400, 10000)।
- सम और विषम वर्ग: * सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होता है।
- विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है।
2. वर्ग संख्याओं के रोचक प्रतिरूप (Patterns)
- विषम संख्याओं का योग: प्रथम \(n \) विषम प्राकृत संख्याओं का योग \(n^2\) के बराबर होता है।
- \(1 = 1^2\)
- \(1 + 3 = 4 = 2^2\)
- \(1 + 3 + 5 = 9 = 3^2\)
- दो वर्गों के बीच की संख्याएँ: दो क्रमागत वर्ग संख्याओं \(n^2\) और \((n+1)^2\) के बीच \(2n\) ऐसी संख्याएँ होती हैं जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं।
- त्रिकोणीय संख्याएँ (Triangular Numbers): यदि हम दो क्रमागत त्रिकोणीय संख्याओं (जैसे 1, 3, 6, 10, 15…) को जोड़ते हैं, तो हमें एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है।
- उदाहरण: \(1 + 3 = 4 (2^2) \), \(3 + 6 = 9 (3^2) \)।
3. वर्गमूल (Square Root)
- परिभाषा: वर्गमूल, वर्ग निकालने की विपरीत संक्रिया (Inverse process) है।
- चिन्ह: इसे \( \sqrt{} \) चिन्ह से दर्शाया जाता है। उदाहरण: \(\sqrt{49} = 7 \)।
- ज्ञात करने की विधियाँ:
- बार-बार घटाने की विधि: संख्या में से तब तक क्रमागत विषम संख्याएँ (1, 3, 5…) घटाते रहें जब तक शून्य न मिल जाए। चरणों की संख्या ही वर्गमूल होगी।
- अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization): संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों के जोड़े (Pairs) बनाएँ। प्रत्येक जोड़े में से एक संख्या लेकर गुणा करें।
4. घन संख्याएँ (Cube Numbers)
- परिभाषा: जब किसी संख्या को स्वयं से ही तीन बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त संख्या उस संख्या का ‘घन’ कहलाती है।
- सूत्र: \(a \times a \times a = a^3 \)
- उदाहरण: \(2 \times 2 \times 2 = 8\) (8, संख्या 2 का घन है)।
- पूर्ण घन: 1, 8, 27, 64, 125… पूर्ण घन संख्याएँ हैं।
Class 8 Maths Chapter 1 Notes घन संख्याओं के गुणधर्म:
- शून्यों की संख्या: किसी संख्या के अंत में जितने शून्य होते हैं, उसके घन में उससे तीन गुना शून्य होते हैं। अतः पूर्ण घन में शून्यों की संख्या हमेशा 3 का गुणज (3, 6, 9…) होती है।
- हाडी-रामानुजन संख्याएँ (Taxicab Numbers): ऐसी संख्याएँ जिन्हें दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।
- जैसे: \(1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3 \)।
Also Read: Class 8 Maths Chapter 1 : Notes – A Square and A Cube In English
5. घनमूल (Cube Root)
- परिभाषा: घनमूल, घन निकालने की विपरीत प्रक्रिया है।
- चिन्ह: इसे \( \sqrt[3]{} \) से दर्शाया जाता है। उदाहरण: \( \sqrt[3]{27} = 3 \)।
- ज्ञात करने की विधि: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा संख्या के गुणनखंड करें और समान गुणनखंडों के तीन-तीन के समूह (Triplets) बनाएँ।
Class 8 Maths Chapter 1 Notes मुख्य सारांश:
- वर्ग (Square): संख्या का जोड़ा बनाना (Power 2)।
- घन (Cube): संख्या का त्रिक बनाना (Power 3)।
- पूर्ण वर्ग की पहचान: अभाज्य गुणनखंड जोड़ों में होने चाहिए।
- पूर्ण घन की पहचान: अभाज्य गुणनखंड तीन-तीन के समूह में होने चाहिए।
Conclusion
हमें उम्मीद है कि ये वर्ग और घन नोट्स कक्षा 8 आपकी पढ़ाई में सहायक सिद्ध हुए होंगे। “A Square and A Cube” के इन मुख्य बिंदुओं और Ganita Prakash Class 8 Maths के उदाहरणों का अभ्यास करने से आप कठिन से कठिन सवालों को भी आसानी से हल कर पाएंगे। यदि आप Class 8 Maths Chapter 1 Important Questions या PDF नोट्स चाहते हैं, तो हमारे अन्य लेख भी जरूर देखें।
FAQs on Class 8 Maths Chapter 1 Notes
Q 1. वर्ग (Square) और घन (Cube) में क्या अंतर है?
Ans. जब किसी संख्या को उसी से दो बार गुणा किया जाता है। जैसे \(a \times a = a^2\), तो वह वर्ग कहलाता है। वहीं, जब किसी संख्या को तीन बार गुणा किया जाता है। जैसे \( a \times a \times a = a^3 \), तो वह उस संख्या का घन होता है।
Q 2. पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect Square) की पहचान कैसे करें?
Ans. वे संख्याएँ जिनके अंत में 2, 3, 7 या 8 आता है, वे कभी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकतीं। पूर्ण वर्ग संख्याएँ हमेशा 0, 1, 4, 5, 6 या 9 पर समाप्त होती हैं।
Q 3. पाइथागोरियन त्रिक (Pythagorean Triplets) क्या होते हैं?
Ans. तीन संख्याओं का ऐसा समूह जहाँ दो छोटी संख्याओं के वर्गों का योग तीसरी बड़ी संख्या के वर्ग के बराबर हो, जैसे \(3^2 + 4^2 = 5^2 \) (9 + 16 = 25)।
Q 4. अभाज्य गुणनखंड विधि से वर्गमूल (Square Root) कैसे निकालें?
Ans. दी गई संख्या के अभाज्य गुणनखंड करें, फिर समान गुणनखंडों के जोड़े (pairs) बनाएं। प्रत्येक जोड़े में से एक संख्या लेकर उनका गुणा करने पर वर्गमूल प्राप्त होता है।
Q 5. हार्डी-रामानुजन संख्या (Hardy-Ramanujan Number) क्या है?
Ans. 1729 वह सबसे छोटी संख्या है जिसे दो अलग-अलग तरीकों से दो घनों के योग के रूप में लिखा जा सकता है \( 1729 = 1^3 + 12^3\) और \(9^3 + 10^3\)।
Q 6. क्या किसी ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक होता है?
Ans. हाँ, किसी भी ऋणात्मक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है, जैसे \((-4)^2 = 16\)।
Q 7. विषम संख्याओं के वर्ग की क्या विशेषता है?
Ans. किसी भी विषम संख्या का वर्ग हमेशा एक विषम संख्या ही होता है। जैसे \(3^2 = 9\), \(7^2 = 49\)।
Q 8. घनमूल (Cube Root) ज्ञात करने की सबसे सरल विधि कौन सी है?
Ans. Class 8 के स्तर पर अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorisation) सबसे सटीक विधि है, जिसमें तीन-तीन के समूह (triplets) बनाए जाते हैं।
Q 9. क्या 100 एक पूर्ण घन (Perfect Cube) संख्या है?
Ans. नहीं, 100 एक पूर्ण वर्ग संख्या \(10^2\) है, लेकिन यह पूर्ण घन नहीं है क्योंकि इसके गुणनखंड में तीन के समूह नहीं बनते।
Q 10. “Ganita Prakash” कक्षा 8 गणित के नए सिलेबस में क्या बदलाव हैं?
Ans. नए सिलेबस में Chapter 1: A Square and A Cube में पैटर्न आधारित गणनाओं और व्यावहारिक पहेलियों (जैसे Locker Puzzle) पर अधिक जोर दिया गया है।
